Gesetz der großen Zahlen: Was ist das? Stochastik spannend und einfach erklärt!

Kristina Kielblock 2

Schon mal vom Gesetz der großen Zahlen gehört? Den meisten wird dieser Begriff schon einmal begegnet sein, aber wer sich nicht intensiver mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik befasst hat, weiß vielleicht nicht genau, was sich dahinter verbirgt. Dieser Ratgeber möchte das ändern, denn mit dem Theorem der großen Zahlen wird an vielen Stellen, beispielsweise bei Versicherungen, gearbeitet und vielleicht kann es auch euch einmal nützlich sein.

Gesetz der großen Zahlen: Was ist das? Stochastik spannend und einfach erklärt!

Jakob Bernoulli hat das Theorem der großen Zahlen im 17.Jahrhundert mithilfe empirischer Naturbeobachtungen entdeckt. Bernoulli war maßgeblich an der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie beteiligt. Seine Meinung war: „Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner“. Ferner hat er auch behauptet, dass selbst der Dümmste das Prinzip der großen Zahlen verstehen könne - dann wollen wir mal sehen, oder?

Gesetz der großen Zahlen: Was ist das?

Ganz einfach ausgedrückt, besagt das Gesetz, dass je größer eine Stichprobe ist, desto wahrscheinlicher stellt sie die echte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dar. Herausgefunden und bewiesen hat Bernoulli dieses Prinzip mit dem Münzwurf: Bei einer Münze existiert eine faire 50% Wahrscheinlichkeit, sowohl für Kopf, als auch für Zahl. Je häufiger die Münze nun geworfen wird, umso näher kommt das reale Ergebnis an die theoretisch faire Verteilung heran.

gesetz der großen zahl

Die grundlegende, davon abgeleitete Annahme ist also, dass die relative Häufigkeit des Ergebnisses eines Zufallsexperiments sich der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses annähert, sofern das Experiment immer unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird.

gesetz der großen zahlen

Statistische Analysen gehen daher davon aus, dass die Werte einer Stichprobe als Resultate eines solchen Zufallsexperiments gesehen werden können. Daraus folgt, dass bei entsprechend großen Stichproben, Schlussfolgerungen über die reale Verteilung der Stichprobenwerte gezogen werden können.

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Gesetz der großen Zahlen: Das Missverständnis unter Spielern

Spieler von Glücksspielen wie Roulette oder auch Lotto, denken oft fälschlicherweise, dass bei einer theoretische fairen Verteilung der Zahlen - jede Zahl beim Roulette oder Lotto hat prinzipiell die gleiche Chance gezogen zu werden - es für einige Zahlen bzw. Farben beim Roulette sozusagen einen Rückstand gibt, der aufgeholt werden würde. Das wird er prinzipiell ja auch - bei einem Würfel sind nach ca. drei Millionen Würfen, alle Zahlen etwas gleich häufig gefallen - aber, wenn neun mal die sechs gewürfelt wurde und nie die eins, heißt das eben nicht, dass die eins demnächst kommen muss.

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Ein Würfel oder ein Roulette-Tisch hat kein Gedächtnis. Bei vielen Spielern von Glücksspielen wurde dieser Trugschluss beobachtet und der Begriff Spielerfehlschluss oder Monte Carlo-Trugschluss dafür geprägt. Auch an Spielautomaten kann solches Verhalten beobachtet werden: Spieler haben bereits eine beträchtliche Summe in ein mit Zufallsgenerator betriebenes Gerät gesteckt und können nicht damit aufhören, da in ihren Augen - aufgrund der fehlinterpretierten Wahrscheinlichkeit - nach einer Pechsträhne dann bald der Gewinn kommen muss. Das hätte Bernoulli dann wohl als dumm bezeichnet.

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Das Gesetz der großen Zahlen: Anwendungen in der Praxis

  1. Versicherungen: Sie nutzen das Gesetz der großen Zahlen, um eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf zu machen. Je größer dabei die Anzahl der Personen und Güter, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer fällt der Einfluss des Zufalls aus.
  2. Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren lässt sich das Gesetz der großen Zahlen ebenfalls nutzen.
  3. Naturwissenschaften: Hier geht man davon aus, dass das häufige Reproduzieren von Versuchen bzw. Experimenten, Messfehler weitestgehend ausschalten kann.

Auch (fiktive) Detektive können dieses stochastische Prinzip für sich nutzen - L aus Death Note beispielsweise findet damit entscheidende Hinweise auf die Identität des gesuchten Mörders.

Bildquelle: Abstract green 3D, High Contrast Roulette, Experience via Shutterstock.com

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